第十八届华杯赛第二期“每周一练”试题及解析

　　郑州奥数网11月22日  第十八届华杯赛还未开始报名，11月起华杯赛官方会出一些考前练习题。

　　下面是第十八届华杯赛第二期“每周一练”试题及解析：

　　试题一

　　某公司有一项运动——爬楼上班，该公司正好在xx大厦18楼办公。一天编辑箫菲爬楼上班，她数了一下楼梯，每段有14级台阶，每层有2段。她想我每一步走一级或二级。那么我倒公司走楼梯共有多少种走法呢？亲爱的小朋友你能帮萧菲解决这个难题吗？

　　解析：

　　如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：

　　①当n＝1时，显然只要1种走法，即a1＝1。

　　②当n＝2时，可以一步一级走，也可以一步走二级上楼，

　　因此，共有2种不同的走法，即a2＝2。

　　③当n＝3时，

　　如果第一步走一级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a2＝2（种）走法。

　　如果第一步走二级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a1＝1（种）走法。

　　根据加法原理，有a3＝a1＋a2＝1＋2＝3（种）

　　类推，有：

　　a4＝a2＋a3＝2＋3＝5（种）

　　a5＝a3＋a4＝3＋5＝8（种）

　　a6＝a4＋a5＝5＋8＝13（种）

　　a7＝a5＋a6＝8＋13＝21（种）

　　a8＝a6＋a7＝13＋21＝34（种）

　　a9＝a7＋a8＝21＋34＝55（种）

　　a10＝a8＋a9＝34＋55＝89（种）

　　a11＝a9＋a10＝55＋89＝144（种）

　　a12＝a10＋a11＝89＋144＝233（种）

　　a13＝a11＋a12＝144＋233＝377（种）

　　a14＝a12＋a13＝233＋377＝610（种）

　　一般地，有an＝an－1＋an－2

　　走一段共有610种走法。

　　共有（18－1）×2＝34（段）。

　　共有走法：

　　试题二

　　昨天大家帮助萧菲解决了她的一个疑问，告诉了萧菲她走楼梯共有61034种走法？萧菲想这个数这么大呀，是不是我的年龄24岁的倍数呢？如果不是这个数除以24余多少呢？亲爱的小朋友，你们可以回答她的这个疑问吗？

　　解析：610不是3的倍数，所以61034也不是3的倍数。因此这个数不能整除24。

　　610÷24＝25……10

　　6102÷24余4

　　6103÷24余16

　　6104÷24余16

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　　以后余数都是16，所以61034除以24余16。

　　试题三

　　X公司进行草原拉练活动，教学服务部有100名员工，决定比赛拉练的速度。公司给他们准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给这个100名员工。员工们被要求在拉练比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去。萧菲想这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同呢？（注：没有同时到达终点的选手）

　　解析：不可能。

　　因为已知没有同时到达的员工，

　　所以名次是从第1名排到第100名，共100个名次。

　　100位选手，编号为1～100。

　　不管哪位选手得到名次如何，交上来的100个数字的末两位数字肯定是：00，01，……99，它们的和的末两位数字为50。

　　而各位选手的编号加上各位选手名次的和为：（1＋2＋…＋100）＋（1＋2＋…＋100）＝9900，末两组数字为00，即00≠50，

　　所以交上来的100个数字的末两位数不可能都不相同。

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