百鸡问题解题指导及例题解析

　　在奥数中，有一个典型的百鸡问题。下面就百鸡问题的起源、解题方法进行指导，并有例题解析。

　　《张丘建算经》中有这样一题：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，小鸡每3只值1文钱。现在用100文钱买100只鸡，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?

　　这是中国古代算术中的一类典型问题——百鸡问题，现代数学用不定方程求解，在小学阶段，不少同学都是用拼凑的办法来解决。这里介绍一种新方法，对小学生很适用。

　　1、求倍数。每只公鸡值5文钱，每只母鸡值3文钱，每只小鸡值1/3文钱。以最便宜的小鸡为标准，公鸡和母鸡的价格分别是小鸡的5÷1/3=15倍和3÷1/3=9倍。

　　2、算超额。假设100文钱全部买小鸡，可买100÷1/3=300只，超出实有三种鸡总数300-100=200只。

　　3、组等式。由于公鸡置换成小鸡可多出自身只数的15-1=14倍，母鸡置换成小鸡可多出自身只数的9-1=8倍。不难理解，上述假设中多出的200只即为公鸡和母鸡置换成小鸡后一共增加的只数，关系式为：公鸡只数×14+母鸡只数×8=200.

　　4、试结果。一般来说，不定方程的正整数解按关系式就可以观察得到。我们也可以先把等式变形，观察起来更为容易。方法是，在等式两边同时除以一个相同的数(0除外)，得到等式右边为整数，左边只有一项系数是分数的形式。

　　在上式两边同时除以8，得到：公鸡只数×7/4+母鸡只数=25.显然，公鸡只数必须是4的倍数。这样，从“4”起，依次用4的倍数去试算，可以得出三种情况：公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;或公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;或公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

　　下面再举一例来验证。

　　大数学家欧拉曾提出过这样的问题：一头猪321(312)银币，一只山羊131(113)银币，一只绵羊21(1/2)银币。有人用100个银币，买了100头牲畜。问：猪、山羊、绵羊各多少?

　　猪的单价是绵羊的312÷1/2=7倍，山羊的单价是绵羊的113÷1/2=223倍，猪和山羊分别置换成绵羊，可多出自身只数的7-1=6倍和 223-1=123倍。如果100个银币都买绵羊，可买100÷1/2=200只，超出实有牲畜头数200-100=100头，这100头就是猪和山羊换成绵羊后多出的头数，列式：猪×6+山羊×123=100.显然，山羊的只数应是“3”的倍数，可以推算得到：猪15头，山羊6只，绵羊79只;或猪10 头，山羊24只，绵羊66只;或猪5头，山羊42只，绵羊53只。

　　上述解法，我们可以用代数知识来帮助分析。

　　在第一题里，设公鸡、母鸡、小鸡分别有X、Y、Z只，列出两个方程(方程组)X+Y+Z=100……①5X+3Y+13Z=100……②，将方程②乘以3，就是15X+9Y+Z=300，与方程①相减(消去Z)，得出14X+8Y=200，两边同时除以8，就是74X+Y=25.显然X只能是4的倍数，依次试算，就能得到与前面相同的答案来。

　　这样一来，我们就会明白，所谓的“新法”，其实也并不新鲜，不过就是先用“消元法”把“三元”不定方程组演变成一个“二元”不定方程，然后有意识地将这个方程的某一个求知数的系数变成分数形式，便于观察这个未知数的值，其它未知数就不难推算了。

　　最后，预祝郑州小升初的同学们都能取得优异的成绩，进入理想的中学！

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